Question

【題目】已知函數(shù)，， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若，，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；

（2）若，，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的最值，即可得證；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論的零點(diǎn)問(wèn)題.

解：（1）由題知， ，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，，命題得證；

（2）由題知：，，

所以與，在上正負(fù)同號(hào)，

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，在上沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，則

當(dāng)時(shí)，，在）上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

若，即，，在上沒(méi)有極值點(diǎn)

若，即；因?yàn)?/span>，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)；

由（1）知：所以，

所以在上也有1個(gè)零點(diǎn)；

所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)：；

所以