Question

如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個三角形，使得，.
(1)設(shè)，求三角形鐵皮的面積；
(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.

Answer 1

（1）三角形鐵皮的面積為；（2）的面積的最大值為.

試題分析：（1）先根據(jù)題中條件得出，，，最后根據(jù)三角形的面積計算公式即可得到所求的三角形的面積；（2）先引入角度作為變量，即設(shè)，進(jìn)而根據(jù)（1）中思路求出，到此用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，進(jìn)行換元，令，先確定的取值范圍，進(jìn)而得到，從而，根據(jù)求出的的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可確定的最大值.
（1）由題意知


，即三角形鐵皮的面積為
（2）設(shè)則，，
令，由于，則有所以
且，所以
故
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
故當(dāng)時，取得最大值.