Question

如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）由等腰三角形三線(xiàn)合一得到，由中位線(xiàn)得到，從而得到，利用并結(jié)合直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到，再結(jié)合以及直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用（1）中的條件得到平面，以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為底面計(jì)算三棱錐的體積，然后更換頂點(diǎn)，變成以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為底面來(lái)計(jì)算三棱錐，利用等體積法從而計(jì)算三棱錐的高，即點(diǎn)到平面的距離；解法二是作或其延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，然后證明平面，從而得到的長(zhǎng)度為點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而計(jì)算的長(zhǎng)度即可.
試題解析：（1）證明：在正中，是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427708381.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，故．
又，，、平面，
所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031428690434.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，
又，，、平面，
所以平面；

（2）解法1：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427848457.png" style="vertical-align:middle;" />，是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427770570.png" style="vertical-align:middle;" />為正三角形，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427832483.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240314290651348.png" style="vertical-align:middle;" />，
由（1）知，所以，
在中，，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031429143742.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即，所以．
故點(diǎn)到平面的距離為．
解法2：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

由（1）知，平面，，
所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031429658422.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031429704683.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．
所以為點(diǎn)到平面的距離．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427848457.png" style="vertical-align:middle;" />，是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427770570.png" style="vertical-align:middle;" />為正三角形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427739306.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以．
以下給出兩種求的方法：
方法1：在△中，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，
則． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240314300161061.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.
方法2：在中，．         ①，
在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031427832483.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
即．                         ②，
由①，②解得．故點(diǎn)到平面的距離為.