Question

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求k的值；

（2）若方程有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得， 代入函數(shù)的解析式中，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得到 ；（2）將函數(shù)代入方程，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問題；通過判斷函數(shù) 的單調(diào)性，得到其最小值，從而求得b的取值范圍為 ；（3）由題意，兩個(gè)函數(shù)圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)即方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；通過討論方程根的情況來求得參數(shù)的取值范圍.

（1）∵為偶函數(shù)，∴，有，

∴對(duì)恒成立．

∴對(duì)恒成立，

∴

對(duì)恒成立，∴．

（2）由題意知，有實(shí)數(shù)根，即有解．

令，則函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，

．

∵，∴，

∴b的取值范圍是．

（3）由（1）知，，

∴由題意知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

令，則，則關(guān)于t的方程（*）有且只有一個(gè)正根．

若，則，不合題意，舍去；

若，則方程（*）的兩根異號(hào)或方程有兩相等正根．

方程（*）有兩相等正根等價(jià)于，可解得．

方程（*）的兩根異號(hào)等價(jià)于，可解得．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．