如圖,A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2,當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好有AF1:AF2=3:1.
(Ⅰ) 求橢圓的離心率;(Ⅱ) 設(shè).
①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),求的值;
②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),試判斷是否
為定值?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ) 6、略
(Ⅰ)設(shè),則.由題設(shè)及橢圓定義得,
消去得,所以離心率.
(Ⅱ) 由(1)知,,所以橢圓方程可化為 .
①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),,直線的方程為.
由得 ,解得,
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.又,所以,,所以,.②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),為定值6.
證明 設(shè),,則.
若為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),則或,
所以.若為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),則由得,,所以.
又直線的方程為,所以由得
.,
∴.由韋達(dá)定理得 ,所以. 同理 .
∴.
綜上證得,當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),為定值6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
π |
2 |
3 |
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