如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),,O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′-BCDE,其中A′O=
(1)證明:A′O⊥平面BCDE;
(2)求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值.
【答案】分析:(1)連接OD,OE.在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,,AD=AE=,CO=BO=3.分別在△COD與△OBE中,利用余弦定理可得OD,OE.利用勾股定理的逆定理可證明∠AOD=∠AOE=90°,再利用線面垂直的判定定理即可證明;
(2)方法一:過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長線于F,連接A'F.利用(1)可知:A'O⊥平面BCDE,根據(jù)三垂線定理得A'F⊥CD,所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角.在直角△OCF中,求出OF即可;
方法二:取DE中點(diǎn)H,則OH⊥OB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角.
解答:(1)證明:連接OD,OE.
因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中,∠B=∠C=45°,,CO=BO=3.
在△COD中,,同理得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124315745703613/SYS201310251243157457036017_DA/5.png">,
所以A'O2+OD2=A'D2,A'O2+OE2=A'E2
所以∠A'OD=∠A'OE=90°
所以A'O⊥OD,A'O⊥OE,OD∩OE=O.
所以A'O⊥平面BCDE.
(2)方法一:
過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長線于F,連接A'F
因?yàn)锳'O⊥平面BCDE.
根據(jù)三垂線定理,有A'F⊥CD.
所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角.
在Rt△COF中,
在Rt△A'OF中,
所以
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為
方法二:
取DE中點(diǎn)H,則OH⊥OB.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
是平面BCDE的一個(gè)法向量.
設(shè)平面A'CD的法向量為n=(x,y,z),
所以,令x=1,則y=-1,
所以是平面A'CD的一個(gè)法向量
設(shè)二面角A'-CD-B的平面角為θ,且
所以
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定哩、二面角、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與方法,需要較強(qiáng)的空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(三選一,考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)
(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=
3
+2sinθ
(θ為參數(shù)),則圓C的普通方程為
(x-1)2+(y-
3
)2=4
(x-1)2+(y-
3
)2=4

(2)(不等式選講選做題)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|,則不等式f(x)>2的解集為
{x|x<-7或x>
5
3
}
{x|x<-7或x>
5
3
}

(3)(幾何證明選講選做題) 如圖所示,等腰三角形ABC的底邊AC長為6,其外接圓的半徑長為5,則三角形ABC的面積是
3
3

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(1)求證:EFAC;

(2)求三棱錐FABC的體積.

 

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(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求三棱錐的體積.

 

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(三選一,考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)
(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為數(shù)學(xué)公式(θ為參數(shù)),則圓C的普通方程為________.
(2)(不等式選講選做題)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|,則不等式f(x)>2的解集為________.
(3)(幾何證明選講選做題) 如圖所示,等腰三角形ABC的底邊AC長為6,其外接圓的半徑長為5,則三角形ABC的面積是________.

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(1)求二面角B1-AC-B的平面角的正切值;

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(文)如圖b所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,AC=BC=a,AA1=AB,C點(diǎn)在AB1上的射影為E,D為AB的中點(diǎn).

(1)求證:AB1⊥平面CED;

(2)求二面角B1-AC-B的平面角的正切值.

第17題圖

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