Question

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知當x∈[0，1]時，f（x）=3^x．則
①2是f（x）的周期；
②函數f（x）在（2，3）上是增函數；
③函數f（x）的最大值為1，最小值為0；
④直線x=2是函數f（x）圖象的一條對稱軸．
其中所有正確命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①對于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），所以f（x+2）=f（x），即2是函數的周期；
②利用x∈[0，1]時，函數單調遞增，結合周期性，可得結論；
③x∈[0，1]時，函數f（x）的最大值為3，最小值為1，結合①②可得結論；
④函數f（x）是定義在R上的偶函數，2是函數的周期，可得結論．

解答：解：∵對于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），∴2是函數的周期，即①正確；
設x∈（2，3），則x-2∈（0，1），∵當x∈[0，1]時，f（x）=3^x，函數單調遞增，2是函數的周期，∴函數f（x）在（2，3）上是增函數，即②正確；
x∈[0，1]時，f（x）=3^x，∴x∈[0，1]時，函數f（x）的最大值為3，最小值為1，結合①②可知，③不正確；
∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，2是函數的周期，∴直線x=2是函數f（x）圖象的一條對稱軸，即④正確．
故答案為①②④．

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．