(2012•浙江模擬)焦點在x軸上的橢圓
x2
4a
+
y2
a2+1
=1
的離心率的最大值為( 。
分析:根據(jù)橢圓的焦點在x軸上,建立關(guān)于a的不等式并解之得:2-
3
<a<2+
3
.由橢圓離心率公式,得e2=1-(
a
4
+
1
4a
),利用基本不等式得a=1時,e2有最大值
1
2
,即得該橢圓的離心率e的最大值.
解答:解:∵橢圓
x2
4a
+
y2
a2+1
=1
的焦點在x軸上
∴4a>a2+1,解之得2-
3
<a<2+
3

橢圓的離心率e滿足:e2=
4a-(a2+1)
4a
=1-(
a
4
+
1
4a

∵a∈(2-
3
,2+
3
)是正數(shù)
a
4
+
1
4a
≥2
a
4
×
1
4a
=
1
2

∴e2≤1-
1
2
=
1
2
,當(dāng)且僅當(dāng)
a
4
=
1
4a
=
1
4
,即a=1時,e2有最大值
1
2

由此可得橢圓的離心率e的最大值為
1
2
=
2
2

故選:B
點評:本題給出的橢圓方程含有字母參數(shù),求橢圓的離心率最大值,著重考查了橢圓的簡單性質(zhì)和用基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.
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)
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