Question

（12分）證明以下命題：

（Ⅰ）對(duì)任一正整a,都存在整數(shù)b,c（b<c），使得成等差數(shù)列。

（Ⅱ）存在無窮多個(gè)互不相似的三角形△，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。

證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對(duì)一切正整數(shù)a均能成立。

結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個(gè)可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。

證明：當(dāng)成等差數(shù)列，則，

分解得：

選取關(guān)于n的一個(gè)多項(xiàng)式，做兩種途徑的分解

對(duì)比目標(biāo)式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，

 

考察三角形邊長(zhǎng)關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m，n，若△_m，△相似：則三邊對(duì)應(yīng)成比例，

 

由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。

 

【解析】略