Question

（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x²－2x—3與兩條坐標軸的三個交點都在圓C上．若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，
(1)求圓C的方程；
（2）若，求a的值；
(3)若 OA⊥OB，（O為原點），求a的值．

Answer 1

(1) (x－1)²＋(y+1)²＝5. （2）或；(3) a＝－1. 。

試題分析：(1)曲線y＝x²－2x—3與y軸的交點為(0,-3)，與x軸的交點為(-1，0)，(3，0)．
故可設圓C的圓心為(1，t)，則有1²＋(t+3)²＝(1+1)²＋t²，解得t＝.
則圓C的半徑為.則以圓C的方程為(x－1)²＋(y+1)²＝5.
（2） , 圓心C到直線x－y＋a＝0的距離為
即，解得或
(3)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，其坐標滿足方程組：.
消去y，得到方程2x²＋2ax＋a²+2a-3＝0. 由已知可得，判別式Δ＝24－16a－4a²>0.
從而x₁＋x₂＝－a，x₁x₂＝.①
由于OA⊥OB，可得x₁x₂＋y₁y₂＝0，又y₁＝x₁＋a，y₂＝x₂＋a，
所以2x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋a²＝0.②
由①，②得a＝1,，滿足Δ>0，故a＝－1.
點評：典型題，關于圓的考查，往往以這種“連環(huán)題”的形式出現(xiàn)，首先求標準方程，往往不難。而涉及在直線與圓的位置關系，往往要利用韋達定理，實現(xiàn)“整體代換”。本題中利用OA⊥OB，可得x₁x₂＋y₁y₂＝0，從而將兩根之積代入，方便求解。