Question

已知函數f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象與函數g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)求導，令f'（x）=0，求出根，分析其兩側導數的符號，確定函數的極值；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象與函數g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點，轉化為求函數f（x）在區(qū)間（0，e²]上的值域，根據（Ⅰ）分類討論函數在區(qū)間（0，e²]是的單調性，確定函數f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=

1-(lnx+a)

x 2

令f'（x）=0得x=e^1-a
當x∈（0，e^1-a）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數
當x∈（e^1-a，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1
（Ⅱ）（i）當e^1-a＜e²時，a＞-1時，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函數，在（e^1-a，e²]上是減函數
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1
又當x=e^-a時，f（x）=0，當x∈（0，e^-a]時f（x）＜0．
當x∈（e^-a，e²]時，f（x）∈（0，e^a-1]，所以f（x）與圖象g（x）=1的圖象在（0，e²]上有公共點，等價于e^a-1≥1
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1
（ii）當e^1-a≥e²即a≤-1時，f（x）在（0，e²]上是增函數，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值為f（e²）=

2+a

e2

所以原問題等價于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2．
又∵a≤-1，∴無解
綜上實數a的取值范圍是a≥1

點評：考查利用導數求函數的極值和閉區(qū)間上函數的最值問題，兩個函數圖象的交點問題一般轉化為求函數的值域問題，特別注意含有參數的最值問題，對參數進行討論，增加了題目的難度，體現了分類討論的思想方法．屬難題．