（2012•資陽(yáng)二模）△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別是a、b、c，滿足2
AB
•
AC
=a2-(b+c)2．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求2
3
cos2
C
2
-sin(
4π
3
-B)的最大值，并求取得最大值時(shí)角B、C的大�。�
分析：（Ⅰ）通過化簡(jiǎn)向量的表達(dá)式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；
（Ⅱ）通過A利用2012年6月7日 17：54：00想的內(nèi)角和，化簡(jiǎn)2
3
cos2
C
2
-sin(
4π
3
-B)為C的三角函數(shù)，通過C的范圍求出表達(dá)式的最大值，即可求出最大值時(shí)角B、C的大�。�
解答：解 （Ⅰ）由已知2
AB
•
AC
=a2-(b+c)2，
化為2bccosA=a2-b2-c2-2bc，（2分）
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4bccosA=-2bc，
∴cosA=-
1
2
，（4分）
∵0＜A＜π，∴A=
2π
3
．（6分）
（Ⅱ）∵A=
2π
3
，∴B=
π
3
-C，0＜C＜
π
3
．
2
3
cos2
C
2
-sin(
4π
3
-B)=2
3
×
1+cosC
2
+sin(
π
3
-B)
=
3
+2sin(C+
π
3
)．（8分）
∵0＜C＜
π
3
，∴
π
3
＜C+
π
3
＜
2π
3
，
∴當(dāng)C+
π
3
=
π
2
，2
3
cos2
C
2
-sin(
4π
3
-B)取最大值2+
3
，
解得B=C=
π
6
．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題借助向量的數(shù)量積考查余弦定理以及三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力．
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（2012•資陽(yáng)二模）“x2-2x＜0”是“|x|＜2”成立的（　�。�

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1
9
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（2012•資陽(yáng)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=1-e-x，函數(shù)g(x)=
x
ax+1
（其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)h（x）=f'（x）•g（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)n∈N*，求證：e2n-
n
k=1
4
k+1
≤n!≤e
n(n-1)
2
（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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（2012•資陽(yáng)二模）如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則
AF
-
DB
=（　�。�

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（2012•資陽(yáng)二模）甲袋中裝有大小相同的紅球1個(gè)，白球2個(gè)；乙袋中裝有與甲袋中相同大小的紅球2個(gè)，白球3個(gè)．先從甲袋中取出1個(gè)球投入乙袋中，然后從乙袋中取出2個(gè)小球．
（Ⅰ）求從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）記從乙袋中取出的2個(gè)小球中白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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