【題目】橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，直線與橢圓的另一個交點分別為.

（1）若點坐標為，且，求橢圓的方程；

（2）設，，求證：為定值.

【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題設條件可直接求出，再根據(jù)在橢圓上求出后可得橢圓的方程.

（2）設，，，先用諸點坐標表示、，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用韋達定理得到、與的關系式，最后化簡后可得定值.我們也可以利用橢圓的幾何性質來證明為定值.

（1），所以橢圓方程為.

（2）法一：坐標法

設，

當時，.

當時，，，

其中：，

從而.

由得，

同理，從而.

.

法二：焦半徑法

不妨設點在軸上方，設，

過作左準線的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可得，

故，

整理得到，所以.

同理，，，，

所以，.

又，

，

所以

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點、分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.

（1）求點的軌跡方程；

（2）動直線與交于不同的兩點，，且的面積為，其中為坐標原點，證明為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關鍵詞的次數(shù)為基礎所得到的統(tǒng)計指標.“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索次數(shù)越多，對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.下圖是2019年9月到2020年2月這半年中，某個關鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.

根據(jù)該走勢圖，下列結論不正確的是（ ）.

A.這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度與時間具有比較明顯的線性相關性

B.2019年10月網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖具有較好的對稱性，與正態(tài)曲線相近，故當月搜索指數(shù)的平均值約為29000

C.從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年10月的方差小于11月的方差

D.從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時．狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該廠質檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標值低于130的為二級口罩，質量指標值不低于130的為一級口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；

（2）在2020年“五一”勞動節(jié)前，甲，乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，，

①求的分布列及數(shù)學期望；

②求當的數(shù)學期望取最大值時正整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且離心率。

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足，當取最大值時，點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】正方體中，是棱的中點，是側面上的動點，且平面，記與的軌跡構成的平面為．

①，使得；

②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是；

③與平面所成銳二面角的正切值為；

④正方體的各個側面中，與所成的銳二面角相等的側面共四個．

其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動了快遞業(yè)的迅速增長，快遞公司攬收價格一般是采用“首重+續(xù)重”的計價方式.首重是指最低的計費重量，續(xù)重是指超過首重部分的計費重量，不滿一公斤按一公斤計費.某快遞網(wǎng)點將快件的攬收價格定為首重（不超過一公斤）8元，續(xù)重2元/公斤（例如，若一個快件的重量是0.6公斤，按8元計費；若一個快件的重量是1.4公斤，按元元元計費）.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，得到該網(wǎng)點攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示

（1）根據(jù)樣本估計總體的思想，將頻率視作概率，求該網(wǎng)點攬收快件的平均價格；

（2）為了獲得更大的利潤，該網(wǎng)點對“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當天攬收的快遞件數(shù)（單位：百件）之間的關系”進行調查研究，得到相關數(shù)據(jù)如下表：

每天攬收快遞件數(shù)（百件）

2

3

4

5

8

每件快遞的平均成本（元）

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程：

方程甲：，方程乙：.

①為了評價兩種模型的擬合效果，根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應回歸方程，將以下表格填寫完整（結果保留一位小數(shù)），分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和，，并依此判斷哪個模型的擬合效果更好（備注：稱為相應于點的殘差，殘差平方和；

每天攬收快遞件數(shù)/百件

2

3

4

5

8

每天快遞的平均成本/元

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

模型甲

預報值

5.2

5.0

4.8

殘差

0.2

0.4

模型乙

預報值

5.5

4.8

4.5

預報值

0

0.1

②預計該網(wǎng)點今年6月25日（端午節(jié)）一天可以攬收1000件快遞，試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計該網(wǎng)點當天的總利潤（總利潤=（平均價格-平均成本）×總件數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，動直線交拋物線于A，B兩點.

（1）若，證明直線過定點，并求出該定點；

（2）點M為的中點，過點M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點；點N為的中點，過點N作與y軸垂直的直線交拋物線于點P.設△的面積，△的面積為.

（i）若過定點，求使取最小值時，直線的方程；

（ii）求的值.

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