Question

【題目】已知向量 =（sinx，﹣1），向量 =（ cosx，﹣ ），函數(shù)f（x）=（ + ） ．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a=2 ，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0， ]上的最大值，求A和b．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（sinx，﹣1），向量 =（ cosx，﹣ ），

∴f（x）=（ + ） =sin2x+1+ sinxcosx+ = +1+ sin2x+ = sin2x﹣ cos2x+2=sin（2x﹣ ）+2，

∵ω=2，

∴函數(shù)f（x）的最小正周期T= =π

（2）解：由（1）知：f（x）=sin（2x﹣ ）+2，

∵x∈[0， ]，

∴﹣ ≤2x﹣ ≤ ，

∴當(dāng)2x﹣ = 時(shí)，f（x）取得最大值3，此時(shí)x= ，

∴由f（A）=3得：A= ，

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴12=b2+16﹣4b，即（b﹣2）2=0，

∴b=2．

【解析】（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根據(jù)x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值，以及此時(shí)x的值，由f（A）為最大值求出A的度數(shù)，利用余弦定理求出b的值即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識(shí)，掌握兩角和與差的正弦公式：，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．