Question

已知拋物線y=x²上的兩點(diǎn)A、B滿足

AP

=λ

PB

，λ＞0，其中點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，1），

OM

=

OA

+

OB

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求四邊形OAMB的面積的最小值；
（2）求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由

AP

=λ

PB

，知A、P、B三點(diǎn)在同一條直線上，設(shè)該直線方程為y=kx+1，A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．由

y=kx+1 y=x2

得x²-kx-1=0，由此能夠?qū)С鏊倪呅蜲AMB是矩形，從而能夠求出四邊形OAMB的面積的最小值．
（2）設(shè)M（x，y），則

x=x1+x2 y= x 2 1 + x 2 2

，消去x₁和x₂得x²=y-2，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由

AP

=λ

PB

知A、P、B三點(diǎn)在同一條直線上，
設(shè)該直線方程為y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由

y=kx+1 y=x2

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴

OA

⊥

OB

．
又OAMB是平行四邊形，
∴四邊形OAMB是矩形，
∴S=|

OA

|•|

OB

|
=

x 2 1 + x 4 1

•

x 2 2 + x 4 2

=-x₁x₂

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

1+ x 2 1 + x 2 2 +(x1x2)2

=

2+(x1+x2)2-2x1x2

=

4+k2

．
∴當(dāng)k=0時(shí)，S取得最小值是2．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），
∴

x=x1+x2 y= x 2 1 + x 2 2

，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴點(diǎn)M的軌跡是y=x²+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．