【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= ,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.
【答案】解:(Ⅰ)證明因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,
所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,
由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.
同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,連接EH,
則EH⊥AC,∠EHG即為二面角θ的平面角.
又PE:ED=2:1,所以 .
從而 ,θ=30°.
(Ⅲ)解法一以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 . .
所以 . . .
設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn), ,其中0<λ<1,
則 = .
令 得 即
解得 .即 時, .
亦即,F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時, 、 、 共面.
又BF平面AEC,所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時,BF∥平面AEC.
解法二:當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時,BF∥平面AEC,證明如下,
證法一:取PE的中點(diǎn)M,連接FM,則FM∥CE.①
由 ,知E是MD的中點(diǎn).
連接BM、BD,設(shè)BD∩AC=O,則O為BD的中點(diǎn).
所以BM∥OE.②
由①、②知,平面BFM∥平面AEC.
又BF平面BFM,所以BF∥平面AEC.
證法二:
因?yàn)? = = .
所以 、 、 共面.
又BF平面ABC,從而BF∥平面AEC.
【解析】(I)利用勾股定理可證PA⊥AB、PA⊥AD,進(jìn)而可證PA⊥平面ABCD;(II)先找出以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的平面角,再利用解三角形可得以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大小;(III)解法一:先建立空間直角坐標(biāo)系,再證、、 共面,進(jìn)而可得點(diǎn)F的位置;解法二:證法一先利用三角形的中位線可證BM∥OE,再利用面面平行可證BF∥平面AEC;證法二利用向量表示可證、、 共面,進(jìn)而可證BF∥平面AEC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)上的一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為,由此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn),若.
(1)求的解析式.
(2)求在上的值域.
(3)若對任意實(shí)數(shù),不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知b2=ac且cosB=.
(1)求的值;
(2)設(shè),求a+c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時間t(小時)的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 12 | 14.9 | 11.9 | 9 | 12.1 |
經(jīng)長期觀察,函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.⑴求的解析式;⑵設(shè)水深不小于米時,輪船才能進(jìn)出港口。某輪船在一晝夜內(nèi)要進(jìn)港口靠岸辦事,然后再出港。問該輪船最多能在港口?慷嚅L時間?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是PB,DC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求EF與平面PDB所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},a1=2,a2=6,且滿足=2(n≥2且n∈N+)
(1)證明:新數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列,并求出an的通項公式
(2)令bn=,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,證明:S2n-Sn<5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+1,若至少存在兩個實(shí)數(shù)m,使得f(﹣m),f(1)、f(m+2)成等差數(shù)列,則過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=f(x)的切線可以作( )
A.3條
B.2條
C.1條
D.0條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ ,a∈R.
(1)若f(x)的最小值為0,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)證明:當(dāng)a=2時,不等式f(x)≥ ﹣e1﹣x恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人獨(dú)立地對某一技術(shù)難題進(jìn)行攻關(guān).甲能攻克的概率為 ,乙能攻克的概率為 ,丙能攻克的概率為 .
(1)求這一技術(shù)難題被攻克的概率;
(2)若該技術(shù)難題末被攻克,上級不做任何獎勵;若該技術(shù)難題被攻克,上級會獎勵a萬元.獎勵規(guī)則如下:若只有1人攻克,則此人獲得全部獎金a萬元;若只有2人攻克,則獎金獎給此二人,每人各得 萬元;若三人均攻克,則獎金獎給此三人,每人各得 萬元.設(shè)甲得到的獎金數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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