精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若C、D分別是橢圓長的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P.證明:
OM
OP
為定值.
(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)由題意知a=2,b=c,b2=2,由此可知橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(2)設(shè)M(2,y0),P(x1,y1),
OP
=(x1,y1),
OM
=(2,y0)
,直線CM:y=
y0
4
(x+2),即y=
y0
4
x+
1
2
y0
,代入橢圓方程x2+2y2=4,得(1+
y
2
0
8
)x2+
1
2
y
2
0
x+
1
2
y
2
0
-4=0
,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出
OM
OP
為定值.
(3)設(shè)存在Q(m,0)滿足條件,則MQ⊥DP.
MQ
=(m-2,-y0),
DP
=(-
4
y
2
0
y
2
0
+8
8y0
y
2
0
+8
)
,再由
MQ
DP
=0得-
4
y
2
0
y
2
0
+8
(m-2)-
8
y
2
0
y
2
0
+8
=0
,由此可知存在Q(0,0)滿足條件.
解答:解:(1)a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2;
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1
(4分)
(2)C(-2,0),D(2,0),設(shè)M(2,y0),P(x1,y1),
OP
=(x1y1),
OM
=(2,y0)

直線CM:y=
y0
4
(x+2),即y=
y0
4
x+
1
2
y0
,代入橢圓方程x2+2y2=4,
(1+
y
2
0
8
)x2+
1
2
y
2
0
x+
1
2
y
2
0
-4=0
(6分)
∵x1=-
1
2
4(
y
2
0
-8)
y
2
0
+8
,∴x1=-
2(
y
2
0
-8)
y
2
0
+8
,∴y1=
8y0
y
2
0
+8
,∴
OP
=(-
2(
y
2
0
-8)
y
2
0
+8
,
8y0
y
2
0
+8
)
(8分)
OP
OM
=-
4(
y
2
0
-8)
y
2
0
+8
+
8
y
2
0
y
2
0
+8
=
4
y
2
0
+32
y
2
0
+8
=4
(定值)(10分)
(3)設(shè)存在Q(m,0)滿足條件,則MQ⊥DP(11分)
MQ
=(m-2,-y0),
DP
=(-
4
y
2
0
y
2
0
+8
,
8y0
y
2
0
+8
)
(12分)
則由
MQ
DP
=0得-
4
y
2
0
y
2
0
+8
(m-2)-
8
y
2
0
y
2
0
+8
=0
,從而得m=0
∴存在Q(0,0)滿足條件(14分)
點(diǎn)評:本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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