Question

已知雙曲線的離心率
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）把點(diǎn)P代入雙曲線方程，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率聯(lián)立方程求得a和b，雙曲線方程可得．
（II）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0，求得k的范圍．設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），根據(jù)韋達(dá)定理可求得x．_A+x_B和x_Ax_B的表達(dá)式，根據(jù)，求得k的另一個(gè)范圍，最后綜合可得答案．
解答：解：（I）由已知，
∵，
∴
又c²=a²+b²，
可解得a²=3，b²=1．
所求雙曲線C的方程為
（II）將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得

即①
，


=，

可得．②
由①，②得．
故k的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和平面向量數(shù)量積得運(yùn)算．考查了學(xué)生解決問(wèn)題的能力和基本的運(yùn)算的能力．