Question

（2009•寶山區(qū)一模）已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線M：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦點(diǎn)，其漸近線為y=±

3

x，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求雙曲線M的方程；
（2）過F₂的直線l與M相交于A、B兩點(diǎn)，直線l的法向量為

n

=(k，-1)，(k＞0)，且

OA

•

OB

=0，求k的值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點(diǎn)C滿足

OA

+

OB

=m

F2C

，求m的值及△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由漸近線為y=±

3

x，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3，得到a=1，b=

3

，c=2，由此能求出雙曲線方程．
（2）直線l的方程為y=k（x-2），由

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，再由韋達(dá)定理和平面向量知識(shí)能夠得到k．
（3）把 k=

3 5

代入（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，得4x²+4x-9=0，此時(shí)

x1+x2=-1 x1•x2=- 9 4

，所以|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=4．由此入手能求出m的值及△ABC的面積S_△ABC．

解答：解：（1）∵漸近線為y=±

3

x，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3．
∴a=1，b=

3

，c=2，
∴雙曲線方程為：x2-

y2

3

=1．…（4分）
（2）直線l的方程為y=k（x-2），由

x2- y2 3 =1 y=k(x-2)

得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*）
所以

x1+x2=- 4k2 3-k2 x1•x2=- 4k2+3 3-k2

…（6分）
由

OA

•

OB

=0得x₁•x₂+y₁•y₂=0
即（1+k²）x₁•x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0
代入化簡，并解得k=±

3 5

（舍去負(fù)值），
∴k=

3 5

．…（9分）
（3）把 k=

3 5

代入（*）并化簡得4x²+4x-9=0，
此時(shí)

x1+x2=-1 x1•x2=- 9 4

，
所以|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=4…（11分）
設(shè)C（x₀，y₀），由

OA

+

OB

=m

F2C

得

x0=2- 1 m y0=- 15 m

代入雙曲線M的方程解得m=-

3

2

（舍），m=2，所以C(

3

2

，-

15

2

)，…（14分）
點(diǎn)C到直線AB的距離為d=

3 2

，
所以S△ABC=

1

2

d•|AB|=

6

．…（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．