【題目】如圖,一輛汽車(chē)從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以的速度向東勻速行駛,汽車(chē)開(kāi)動(dòng)時(shí),在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一艘快艇與汽車(chē)同時(shí)出發(fā),要把一份文件交給這輛汽車(chē)的司機(jī).
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中?
(2)求快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成角的大。
(3)若快艇每小時(shí)最快行駛,快艇應(yīng)如何行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中?最快需多長(zhǎng)時(shí)間?
【答案】(1)快艇至少以的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中;(2)快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成的角為90°;(3)快艇應(yīng)垂直于海岸向北行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中,最快需要4h.
【解析】
(1)畫(huà)圖分析,設(shè)后與汽車(chē)在C處相遇,再根據(jù)三角形中的關(guān)系分別表示快艇與汽車(chē)所經(jīng)過(guò)的路程,再化簡(jiǎn)求得快艇速度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,再利用二次不等式的最值分析即可.
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論分析可得汽車(chē)與快艇路程構(gòu)成的三角形中的邊的關(guān)系,進(jìn)而求得時(shí)間即可.
(3)設(shè)快艇以的速度沿行駛,后與汽車(chē)在E處相遇,同(1)中的方法求得三角形各邊的關(guān)系分析即可.
(1)如圖所示,設(shè)快艇以的速度從B處出發(fā),沿方向行駛,后與汽車(chē)在C處相遇.
在中,,,,為邊上的高,.
設(shè),則,.
由余弦定理,得,
即,
整理得
.
當(dāng),即時(shí),,∴.
即快艇至少以的速度行駛才能把文件送到司機(jī)手中.
(2)由(1)可知,當(dāng)時(shí),在中,
,,,由余弦定理,得,∴.
故快艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與所成的角為90°.
(3)如圖所示,設(shè)快艇以的速度沿行駛,后與汽車(chē)在E處相遇.
在中,,,,.
由余弦定理,得,
解得或(舍去),
∵當(dāng)時(shí),,,,∴快艇應(yīng)垂直于海岸向北行駛才能盡快把文件交到司機(jī)手中,最快需要4h.
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