已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線l過點A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB為直徑作圓M，連接MO并延長，與橢圓C的第三象限部分交于N，若直線NB是圓M的切線，求橢圓的離心率；
（2）已知三點D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圓M與△DEG恰有一個公共點，求橢圓方程．
分析：（1）欲求橢圓的離心率，只需找到a，c的齊次式，根據(jù)直線NB是圓M的切線，則直線NB與直線AB垂直，斜率等于AB斜率的負(fù)倒數(shù)，得到直線NB的方程，再求出直線MO的方程，與直線NB聯(lián)立，解為N點坐標(biāo)，又因為N點在橢圓上，代入橢圓方程，即可得到含a，c的方程，解出離心率．
（2）圓M與△DEG恰有一個公共點，圓M與直線DE相切圓在直線DE的下方，由此可得兩個含a，b的方程，解方程組可得．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（
a
2
，
b
2
）
∴直線MO方程為y=
b
a
x
∵直線AB斜率為-
b
a
，直線NB是圓M的切線，∴直線NB的斜率為
a
b

∴直線NB方程為y=
a
b
x+b
由
y=
b
a
x
y=
a
b
x+b
得N（
ab2
b2-a2
，
b3
b2-a2
）
又∵N點在橢圓上
x2
a2
+
y2
b2
=1，∴
(
ab2
b2-a2
)2
a2
+
(
b3
b2-a2
)2
b2
=1
化簡，得2b4=（b2-a2）2
2a4-4a2c2+c4=0，∴e4-4e2+2=0
e2=2-
2
，∴e=
2-
2

（2）∵圓M與△DEG恰有一個公共點，∴圓M與直線DE相切圓在直線DE的下方，
∴b=
3 
4
a，
直線DE的方程為
x
4
+
y
3
=1，即3x+4y-12=0
∴
|3×
a
2
+4×
b
2
-12|
32
+42
=
a2+ b2
2

把b=
3 
4
a代入，化簡，得，a=2，∴b=
3
2

橢圓方程為
x2
4
+
4y2
9
=1
點評：本題考查了橢圓離心率的求法，以及橢圓與圓的綜合問題，綜合性強．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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