【題目】已知是偶函數(shù),.

(1)求的值,并判斷函數(shù)上的單調(diào)性,說明理由;

(2)設(shè),若函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)定義在上的一個(gè)函數(shù),如果存在一個(gè)常數(shù),使得式子對(duì)一切大于1的自然數(shù)都成立,則稱函數(shù)為“上的函數(shù)”(其中,).試判斷函數(shù)是否為“上的函數(shù)”,若是,則求出的最小值;若不是,則說明理由.(注:).

【答案】(1),遞減;理由見解析;(2);(3)是,.

【解析】

1)由偶函數(shù)的定義可得f(﹣x)=fx),結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),解方程可得所求值;函數(shù)hx)=fxxlog44x+1)﹣xR上遞減,運(yùn)用單調(diào)性的定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可證明;

2)由題意可得log44x+1xlog4a2xa)有且只有一個(gè)實(shí)根,可化為2x+2xa2xa,即有a,化為a1,運(yùn)用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,即可得到所求范圍.

3)利用求解即可

1fx)=log44x+1+kx是偶函數(shù),

可得f(﹣x)=fx),即log44x+1)﹣kxlog44x+1+kx,

即有log42kx,可得log44x=﹣x2kx,

xR,可得k

又函數(shù)hx)=fxxlog44 x+1)﹣x=R上遞減,

理由:設(shè)x1x2,則hx1)﹣hx2)=log4 )﹣log4

log44x1+1)﹣log44x2+1),

x1x2,可得﹣x1>﹣x2,可得log44x1+1)>log44x2+1),

hx1)>hx2),即yfxxR上遞減;

2gx)=log4a2xa),若函數(shù)fx)與gx)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),

即為log44x+1xlog4a2xa)有且只有一個(gè)實(shí)根,

可化為2x+2xa2xa,

即有a,化為a1,

可令t12xt1),則2x

a1,

9t34在(1,)遞減,(,+∞)遞增,

可得9t34的最小值為234=﹣4,

當(dāng)a1=﹣4時(shí),即a=﹣3滿足兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)t1時(shí),9t340,可得a10時(shí),即a1時(shí),兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn),

綜上可得a的范圍是(1+∞)∪{3}

3函數(shù),理由如下:由題當(dāng)任意的,有

因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,則,故的最小值為

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