已知函數(shù)y=
1
2
sin(3x+
π
6
)+1.
(1)求y取最大值和最小值時相應(yīng)的x的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)它的圖象可以由正弦曲線經(jīng)過怎樣的圖形變換所得出?
分析:(1)由3x+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈z,和 3x+
π
6
=2kπ-
π
2
,k∈z,求得x的值,即為所求. 
(2)由 2kπ-
π
2
≤3x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得x的范圍,即得函數(shù)的增區(qū)間;由2kπ+
π
2
≤3x+
π
6
≤2kπ+
2
,
k∈z,求得x的范圍,即得函數(shù)的減區(qū)間.
(3)先將y=sinx上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="g6wu6ta" class="MathJye">
1
3
,再將所得圖象向左平移
π
18
個單位,然后將所得圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="uagjluc" class="MathJye">
1
2
,再把所得圖象向上平移一個單位,即可得到y(tǒng)=
1
2
sin(3x+
π
6
)+1的圖象.
解答:解:(1)由3x+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈z,可得x=
2
3
kπ+
π
9
(k∈Z); 此時,y取最大值.
由3x+
π
6
=2kπ-
π
2
,k∈z,可得x=
2
3
kπ-
9
,(k∈Z),此時,y取最小值.
綜上,可得y取最大值時,相應(yīng)的x的值為x=
2
3
kπ+
π
9
(k∈Z);y取最小值時,相應(yīng)的x的值為x=
2
3
kπ-
9
,k∈Z.
(2)由 2kπ-
π
2
≤3x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,可得
2
3
kπ-
9
≤x≤
2
3
kπ+
π
9
,
故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[
2
3
kπ-
9
,
2
3
kπ+
π
9
](k∈Z).
由 2kπ+
π
2
≤3x+
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z,可得
2
3
kπ+
π
9
≤x≤
2
3
kπ+
9
,
故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為[
2
3
kπ+
π
9
,
2
3
kπ+
9
](k∈Z);
(3)先將正弦曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="pt4vmr1" class="MathJye">
1
3
(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=
1
2
 sin3x 的圖象.
再將所得圖象向左平移
π
18
個單位,然后將所得圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="kjsxfd4" class="MathJye">
1
2
(橫坐標(biāo)不變),
得到y(tǒng)=
1
2
sin(3x+
π
6
)的圖象.
最后將所得圖象向上平移一個單位,即可得到y(tǒng)=
1
2
sin(3x+
π
6
)+1的圖象.
點(diǎn)評:本題主要考查y=Asin(ωx+∅)的圖象變換,求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的方法,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(3x+
π
6
)+1

(1)求函數(shù)的最小正周期      (2)求y取最小值時相應(yīng)的x值
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間     (4)它的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得出?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
,x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用五點(diǎn)法作出它的簡圖;
(3)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
,x∈R.
(1)寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間、對稱軸方程和對稱中心;
(2)當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時,求y的取值范圍;
(3)說明由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可以得到函數(shù)y=
1
2
sin(2x+
π
6
)
的圖象.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
1
2
sin(wx+α)(w>0,0<α<π)
為偶函數(shù),其圖象與x軸的交點(diǎn)為x1,x2,若|x1-x2|的最小值為
π
2
,則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間可以是(  )

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