已知函數(shù)f(x)=x3-ax,g(x)=
1
2
x2-lnx-
5
2

(1)若對一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)記G(x)=
1
2
x2-
5
2
-g(x)
,求證:G(x)>
1
ex
-
2
ex
(1)原不等式可化為:x3-ax≥2x(
1
2
x2-lnx-
5
2
)-x2+5x-3
,化簡得:ax≤2xlnx+x2+3,
∵x>0,故上式可化為a≤2lnx+
3
x
+
x恒成立,則問題等價(jià)于a≤(2lnx+
3
x
+x)min

t(x)=2lnx+
3
x
+x,(x>0),t(x)=
x2+2x-3
x2
,
令t′(x)=0,得x=1,
∵x>0,∴在(0,1)上,t′(x)<0,在(1,+∞)上,t′(x)>0,
∴t(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
故當(dāng)x=1時(shí),t(x)有最小值為4,故a≤4,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈(-∞,4];
(2)化簡得,G(x)=lnx,則原不等式可化為lnx>
1
ex
-
2
ex
,即證xlnx>
x
ex
-
2
e
成立,
記F(x)=xlnx,則F'(x)=lnx+1,
當(dāng)0<x<
1
e
時(shí),F(xiàn)'(x)<0,F(xiàn)(x)遞減;當(dāng)x>
1
e
時(shí),F(xiàn)'(x)>0,F(xiàn)(x)遞增,
故當(dāng)x=
1
e
時(shí),F(xiàn)(x)取得極小值,也為最小值,其最小值為F(
1
e
)=-
1
e

H(x)=
x
ex
-
2
e
,則H'(x)=
1-x
ex
,
當(dāng)0<x<1時(shí),H'(x)>0,H(x)遞增;當(dāng)x>1時(shí),H'(x)<0,H(x)遞減;
故當(dāng)x=1時(shí),H(x)取得極大值,也為最大值,其最大值為H(1)=-
1
e

由函數(shù)F(x)的最小值與函數(shù)H(x)的最大值不能同時(shí)取到,
故x∈(0,+∞)時(shí),F(xiàn)(x)>H(x),故原不等式成立.
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1
2
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1
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2
3
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