(2012•許昌縣一模)選修4一5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|.
(I)若a=-1,解不等式,f(x)≥3;
(II)如果對于任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x)≥2成立,求a的取值范圍.
分析:(I)由函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|,知當(dāng)a=1時,不等式f(x)≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3,根據(jù)絕對值的幾何意義能求出不等式f(x)≥3的解集.
(II)對?x∈R,f(x)≥2,只需f(x)的最小值大于等于2.當(dāng)a≥1時,f(x)=|x-1|+|x-a|=
2x-a-1,x≥a
a-1,1≤x<a
-2x+a+1,x<1
,f(x)min=a-1.同理,得當(dāng)a<1時,f(x)min=1-a,由此能求出a的取值范圍.
解答:解:(I)∵函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|,
∴當(dāng)a=1時,不等式f(x)≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3,
根據(jù)絕對值的幾何意義:
|x-1|+|x+1|≥3可以看做數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離之和大于或等于3,
則點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的中點(diǎn)O的距離大于或等于
3
2
即可,
∴點(diǎn)x在-
3
2
或其左邊及
3
2
或其右邊,
x≤-
3
2
x≥
3
2

∴不等式f(x)≥3的解集為(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞)

(II)對?x∈R,f(x)≥2,
只需f(x)的最小值大于等于2.
當(dāng)a≥1時,f(x)=|x-1|+|x-a|=
2x-a-1,x≥a
a-1,1≤x<a
-2x+a+1,x<1
,
∴f(x)min=a-1.
同理,得當(dāng)a<1時,f(x)min=1-a,
a≥1
a-1≥2
a<1
1-a≥2

解得a≥3,或a≤-1,
∴a的取值范圍是(-∞,-1]∪[3,+∞).
點(diǎn)評:本題考查含絕對值不等式的解法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍,綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時要認(rèn)真審題,合理運(yùn)用函數(shù)恒成立的性質(zhì)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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