已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為10.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷方程根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論;
(21)探究: 是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)? 若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

（1）8；（2）一個(gè)，證明參考解析；(21)

解析試題分析：（1）曲線上切線的斜率是通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的導(dǎo)數(shù)再將該點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入即可求得該點(diǎn)的斜率，從而可解得的值.
（2）判斷方程的根的情況，一般是通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)從而證明函數(shù)的與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù).
(21)因?yàn)槭欠翊嬖谶@樣的點(diǎn),使得曲線在該點(diǎn)附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè).是通過(guò)說(shuō)明過(guò)該點(diǎn)的切線方程與曲線方程聯(lián)立后，構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)，要說(shuō)明該點(diǎn)不是新函數(shù)的極值點(diǎn)即可.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f0/c/ssfs91.png" style="vertical-align:middle;" />.圖像在點(diǎn)處的切線斜率為10，.解得.
（2）方程 只有一個(gè)實(shí)根.證明如下：由（1）可知 ，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/21/b/9j2d71.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/26/1/hgnbg3.png" style="vertical-align:middle;" />.所以在遞增，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，及方程有且只有一個(gè)實(shí)根.
(21)由，，可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即.記，.若存在這樣的點(diǎn)，使得曲線在該點(diǎn)附近的左右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問題等價(jià)于不是極值點(diǎn)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不是極值點(diǎn)，即.所以在上遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即存在唯一點(diǎn).使得曲線在點(diǎn)A附近的左右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè).
考點(diǎn)：1.函數(shù)求導(dǎo).2.函數(shù)與方程的根的關(guān)系.3.構(gòu)建新函數(shù)的思想.4.正確理解題意建立函數(shù)解題的思想.5.分類猜想等數(shù)學(xué)思想.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)于任意x1，x2∈，總有g(shù)(x1)<f(x2)成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關(guān)于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]時(shí)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（為常數(shù)），直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若 [注：是的導(dǎo)函數(shù)]，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，試討論方程的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求a；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k為常數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)g(x)＝－x2＋2ax(a為正實(shí)數(shù))，若對(duì)于任意x2∈[0,1]，總存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)求的極值.
（2）證明：在上為增函數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.

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