Question

(本小題滿分16分)從數(shù)列中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個子數(shù)列．

設(shè)數(shù)列是一個首項為、公差為的無窮等差數(shù)列（即項數(shù)有無限項）．

（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．

（2）若，從數(shù)列中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．

（3）若，從數(shù)列中取出第1項、第項（設(shè)）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問當且僅當為何值時，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．

Answer 1

【解】：（1）由題設(shè)，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）

（2）設(shè)等比數(shù)列為，其公比，，（6分）

由題設(shè)．

假設(shè)數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，則對任意自然數(shù)，都存在，使，

即，得，（8分）

當時，，與假設(shè)矛盾，

故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列．（10分）

（3）①設(shè)的無窮等比子數(shù)列為，其公比（），得，

由題設(shè)，在等差數(shù)列中，，，

因為數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，所以對任意自然數(shù)，都存在，使，

即，得，

由于上式對任意大于等于的正整數(shù)都成立，且，均為正整數(shù)，

可知必為正整數(shù)，又，故是大于1的正整數(shù)．（13分）

②再證明：若是大于1的正整數(shù)，則數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列．

即證明無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項．

在等比數(shù)列中，，

在等差數(shù)列中，，，

若為數(shù)列中的第項，則由，得，

整理得，

由，均為正整數(shù)，得也為正整數(shù)，

故無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項，得證．

綜上，當且僅當是大于1的正整數(shù)時，數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列．（16分）