已知函數(shù)(其中),的反函數(shù).
(1)已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的奇偶性和增減性;
(3)設(shè),其中.記,數(shù)列的前項(xiàng)的和為),
求證:.

(1);(2)奇函數(shù),減函數(shù);(3)證明見(jiàn)解析.

解析試題分析:(1)這是一個(gè)對(duì)數(shù)方程,首先要轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)有,從而有,方程在上有解,就變?yōu)榍蠛瘮?shù)上的值域,轉(zhuǎn)化時(shí)注意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正;(2)奇偶性和單調(diào)性我們都根據(jù)定義加以解決;(3),
,要證明不等式成立,最好是能把和求出來(lái),但看其通項(xiàng)公式,這個(gè)和是不可能求出的,由于我們只要證明不等式,那么我們能不能把放縮后可求和呢?,顯然,即,左邊易證,又由二項(xiàng)式定理
,在時(shí),,所以,注意到,至此不等式的右邊可以求和了,
,得證.
試題解析:(1)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的值域,
該函數(shù)在上遞增、在上遞減,所以的最小值5,最大值9。所以的取值范圍為。         4分
(2)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6e/d/1zitm4.png" style="vertical-align:middle;" />,         5分
定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又, ,所以函數(shù)為奇函數(shù)。         6分
下面討論在上函數(shù)的增減性.
任取、,設(shè),令,則,所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fc/3/1kf7h2.png" style="vertical-align:middle;" />,,,所以.        7分
又當(dāng)時(shí),是減函數(shù),所以.由定義知在上函數(shù)是減函數(shù).         8分
又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以在上函數(shù)也是減函數(shù).        9分
(3) ;        10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ef/b/1ezcm3.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,。  11分
設(shè)時(shí),則 ,   12分
,   13分
由二項(xiàng)式定理,        14分
所以,
從而

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)當(dāng)a<0時(shí),解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=0時(shí),求整數(shù)k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.

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求下列函數(shù)的值域:
(1) y=x-
(2) y=x2-2x-3,x∈(-1,4];
(3) y=,x∈[3,5];
(4) y= (x>1).

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2bx+1(a>0),F(x)=f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍.

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已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,求函數(shù)的值域.

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已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性并證明;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.

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已知函數(shù).
(1)解關(guān)于的不等式;
(2)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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設(shè),其中為常數(shù)
(1)為奇函數(shù),試確定的值
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍

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(本小題滿分12分)某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測(cè):服藥后每毫升血液中的含藥量(單位:微克)與時(shí)間(單位:小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線.

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(Ⅱ)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定:每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí),治療有效.問(wèn):服藥多少小時(shí)開(kāi)始有治療效果?治療效果能持續(xù)多少小時(shí)?(精確到0.1)(參考數(shù)據(jù):).

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