Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點(diǎn)F₂斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

（1）．（2）證明見解析.

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，建立的方程組即得；
（2）要證明為定值，須從確定兩直線斜率的表達(dá)式入手.根據(jù)題目的條件，應(yīng)注意設(shè)出的直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理，建立與坐標(biāo)的聯(lián)系；確定的坐標(biāo)，將斜率用坐標(biāo)表示.得到，的關(guān)系即得證.
設(shè)過點(diǎn) 的直線方程為：，，點(diǎn)，
將代入橢圓整理得： 
應(yīng)用韋達(dá)定理   ；
根據(jù)直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點(diǎn)，，點(diǎn) ；
由直線 的斜率為
，
將代入上式得到，的關(guān)系即得證.
試題解析：（1）由題意得，，                      2分
所以，，所求橢圓方程為．                  4分
（2）設(shè)過點(diǎn) 的直線方程為：，
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)                                         5分
將直線方程代入橢圓
整理得：                           6分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且                         7分
直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點(diǎn)，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)                            9分
直線 的斜率為
      11分
將代入上式得：

所以為定值                                       13分