Question

【題目】已知拋物線x2=2py（p＞0），F(xiàn)為其焦點，過點F的直線l交拋物線于A、B兩點，過點B作x軸的垂線，交直線OA于點C，如圖所示．
（Ⅰ）求點C的軌跡M的方程；
（Ⅱ）直線m是拋物線的不與x軸重合的切線，切點為P，M與直線m交于點Q，求證：以線段PQ為直徑的圓過點F．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：直線l的斜率存在，設方程為：y=kx+ ， 設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），動點C（x，y），
由 ，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2 ．
OA：y= = ；OB：x=x2；
由 可得y= ，
即點C的軌跡方程為y=﹣ ．
（Ⅱ）證明：設直線m的方程為：y=kx+m，
由 可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因為直線m與拋物線相切，
∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），
又由 ，可得Q（ ），
=（pk，﹣m﹣ ）（ ）
=﹣ （p+2m）+pm+ =0，可得FP⊥FQ，
∴以線段PQ為直徑的圓過點F
【解析】（Ⅰ）判斷直線l的斜率存在，設方程為：y=kx+ ，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），動點C（x，y）聯(lián)立直線與拋物線的方程組，利用韋達定理可得x1x2═﹣p2 ． 求出OA；OB方程；然后求解軌跡方程．（Ⅱ）設直線m的方程為：y=kx+m，由 ，得△=4p2k2+8pm，利用直線m與拋物線相切，得P（pk，﹣m），求出Q（ ），通過 =0，說明以線段PQ為直徑的圓過點F．