(2008•青浦區(qū)一模)在平面直角坐標系xoy中,已知圓C的圓心在第二象限,半徑為2
2
且與直線y=x相切于原點O.橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)圓C上是否存在點Q,使O、Q關(guān)于直線CF(C為圓心,F(xiàn)為橢圓右焦點)對稱,若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可知,圓心所在直線與切線垂直,又因為圓過原點,半徑為2
2
,即可求出圓方程.
(2)又橢圓的定義可求出橢圓方程,假設(shè)圓C上存在點Q,使O、Q關(guān)于直線CF對稱,根據(jù)圓方程和橢圓方程求出直線CF的方程,設(shè)出Q點的坐標,因為O、Q關(guān)于直線CF對稱,所以直線OQ垂直于直線CF,斜率等于直線CF斜率的負倒數(shù),且O,Q的中點在直線CF上,滿足直線CF的方程,據(jù)此,即可求Q點坐標,若能求出,則存在,若求不出,則不存在.
解答:解:(1)由題意知:圓心(-2,2),半徑2
2
,圓C:(x+2)2+(y-2)2=8
(2)由條件可知a=5,橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
,
∴F(4,0)
若存在,直線CF的方程的方程為y=-
1
3
(x-4)
即x+3y-4=0
設(shè)Q(x,y),則
y
x
=3
x
2
+
3y
2
-4=0

解得
x=
4
5
y=
12
5
,所以存在點Q,Q的坐標為(
4
5
,
12
5
)
點評:本題主要考查了圓的切線的性質(zhì),圓的標準方程的求法,以及解析幾何中的對稱性問題,屬于常規(guī)題.
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3
sin2x+a(a
為實常數(shù))在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最小值為-4,那么a的值為
-4
-4

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(2008•青浦區(qū)一模)把數(shù)列{
1
2n-1
}
的所有數(shù)按照從大到小,左大右小的原則寫成如圖所示的數(shù)表,第k行有2k-1個數(shù),第k行的第s個數(shù)(從左數(shù)起)記為A(k,s),則
1
2009
這個數(shù)可記為A(
10,494
10,494
).

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(2008•青浦區(qū)一模)若sinθ=
4
5
,則cos2θ=
-
7
25
-
7
25

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(2008•青浦區(qū)一模)|
a
|=1,|
b
|=2,
a
b
=
3
,則
a
b
夾角的大小為
30°
30°

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