Question

如果函數(shù)f（x）滿足下列條件：
①對(duì)于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；
②對(duì)于滿足條件0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，0≤x₁+x₂≤1的任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，
都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．則稱函數(shù)f（x）為Γ函數(shù)．
（Ⅰ）分別判斷函數(shù)f₁（x）=x與f₂（x）=sin

π

2

x是否為Γ函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅲ）不等式f（x）≤

3

2

x對(duì)于一切x∈[0，1]都成立嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照Γ函數(shù)的定義逐個(gè)驗(yàn)證即可；
（Ⅱ）欲證對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），將y寫成y-x+x，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）進(jìn)行放縮即得．
（Ⅲ）取函數(shù)f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1

，驗(yàn)證此函數(shù)符合題目中的條件（1），（2），但是f（0.51）=1＞1.5×0.51=0.785．從而不等式f（x）≤

3

2

x并不對(duì)所有x∈[0，1]都成立．

解答：（Ⅰ）解：對(duì)任意x∈[0，1]，f₁（x）=x≥0，且f₁（0）=0，f₁（1）=1，滿足條件①；
對(duì)滿足條件0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，0≤x₁+x₂≤1的任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，f₁（x₁+x₂）=x₁+x₂≥f₁（x₁）+f₁（x₂）=x₁+x₂，滿足條件②．
故f₁（x）=x是Γ函數(shù)；
對(duì)任意x∈[0，1]，f₂（x）=sin

π

2

x≥0成立，且f₂（0）=0，f₂（1）=1，滿足條件①；
但取x₁=1，x₂=2時(shí)，f₂（x₁+x₂）=sin

3

2

π=-1，f₂（x₁）+f₂（x₂）=sin

π

2

+sinπ=1，f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂），不滿足條件②，
故f₂（x）=sin

π

2

x不是Γ函數(shù)；
（Ⅱ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，
則0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．
（Ⅲ）不都成立，證明如下：
取函數(shù)f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1

，
則f（x）顯然滿足題目中的（1），（2）兩個(gè)條件．
任意取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，使得x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
若x₁，x₂∈[0，1]，則f（x₁+x₂）≥0=f（x₁）+f（x₂）．
若x₁，x₂分別屬于區(qū)間[0，

1

2

]和（

1

2

，1]中一個(gè)，則f（x₁+x₂）=1=f（x₁）+f（x₂），
而x₁，x₂不可能都屬于（

1

2

，1]．
綜上可知，f（x）滿足題目中的三個(gè)條件．
而f（0.51）=1＞1.5×0.51=0.785．
即不等式f（x）≤

3

2

x并不對(duì)所有x∈[0，1]都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．