已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x
(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設a>0,證明:當0<x<時,f>f;
(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明f′(x0)<0.

解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=-2ax+(2-a)=      …1分
①若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.…………2分
②若a>0,則由f′(x)=0得x=,且當x∈(0, )時,f′(x)>0,當x>時,
f′(x)<0.所以f(x)在(0, )單調(diào)遞增,在(,)單調(diào)遞減.…………4分
(2)設函數(shù)g(x)=f-f,則g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
g′(x)=-2a   …………………………6分
當0<x<時,g′(x)>0,…………7分   而g(0)=0,所以g(x)>0.
故當0<x<時,f>f.    …………………………9分
(3)當a≤0時,函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸至多有一個交點,故a>0,…………10分
從而f(x)的最大值為,且.…………………………11分
不妨設,則.由(2)得
,而f(x)在(,)單調(diào)遞減.
……14分于是.由(1)知,.…………15分

解析

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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)定義域為),設
(1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)上為單調(diào)函數(shù);
(2)求證:;
(3)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知定義在R上的函數(shù),其中a為常數(shù).
(I)若x=1是函數(shù)的一個極值點,求a的值;
(II)若函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上是增函數(shù),求a的取值范圍;
(III)若函數(shù),在x=0處取得最大值,求正數(shù)a的取值范圍.

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(本題13分)
已知f(x)=lnx+x2-bx.
(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(2)當b=-1時,設g(x)=f(x)-2x2,求證函數(shù)g(x)只有一個零點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù)f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方
程為y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,
并求出此定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

若函數(shù)f(x)=ax3bx+4,當x=2時,函數(shù)f(x)有極值-.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關于x的方程f(x)=k有三個根,求實數(shù)k的取值范圍

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分) 已知函數(shù)處取得極值。
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
Ⅱ)求證:對于區(qū)間上任意兩個自變量的值,都有;
(Ⅲ)若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分10分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和
外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成
本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)
滿足兩個關系:①C(x)=②若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬
元。設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式; (4分)
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.

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