Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?span id="u8w3s3t" class="MathJye">[0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

(k∈Z)對稱；
③函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)． 其中正確的命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：本題為新定義問題，因?yàn)閙為整數(shù)，故可取m為幾個特殊的整數(shù)進(jìn)行研究，進(jìn)而得到函數(shù)的圖象的草圖，結(jié)合圖象分析得到答案．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
…
畫出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知正確命題為①②③，
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題是新定義問題，考查函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想．