【題目】已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和 (n為正整數(shù))。

（1）令，求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

（2）令，試比較與的大小，并予以證明．

【答案】（1）（2）當(dāng)，當(dāng)時(shí).

【解析】

試題分析：（1）已知，一般利用進(jìn)行化簡條件，當(dāng)時(shí)，，，又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，于是.（2）由（1）得，是等差乘等比型，所以其和求法為“錯(cuò)位相減法”， 即得.數(shù)列中比較大小，一般用作差，即,而比較的大小，有兩個(gè)思路，一是數(shù)學(xué)歸納法，二是二項(xiàng)展開式定理.

試題解析：（1）在中，令n=1，可得，即 1

當(dāng)時(shí)，， 2

.

又數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列 4

于是 .6

(2)由（1）得，所以

由①-②得

9

2

于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小

猜想：當(dāng)證明如下：

證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由猜想顯然成立．

（2）假設(shè)時(shí)猜想成立．即

則時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)猜想也成立

綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有

證法2：當(dāng)時(shí)

綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí) 14

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】空間中任意放置的棱長為2的正四面體.下列命題正確的是_________.（寫出所有正確的命題的編號(hào)）

①正四面體的主視圖面積可能是；

②正四面體的主視圖面積可能是；

③正四面體的主視圖面積可能是；

④正四面體的主視圖面積可能是2

⑤正四面體的主視圖面積可能是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)．

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；

（Ⅱ）記向量的伴隨函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)的值；

（Ⅲ）由（Ⅰ）中函數(shù)的圖像（縱坐標(biāo)不變）橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，再把整個(gè)圖像向右平移個(gè)單位長度得到的圖像。已知 ，問在的圖像上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線.

（1）求的值；

（2）對(duì)任意的，都存在，使得，求的取值范圍；

（3）已知方程有兩個(gè)根，若，求證: .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形與均為菱形，，且．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為： ，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.若存在，請(qǐng)求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若且，數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅱ）是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（I）求直方圖中的a值；

（II）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定圓，定直線，過的一條動(dòng)直線與直線相交于，與圓相交于，兩點(diǎn)，

（1）當(dāng)與垂直時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明:過圓心；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．

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