Question

某旅游商品生產(chǎn)企業(yè)，2011年某商品生產(chǎn)的投入成本為1元/件，出廠價(jià)為1.2元/件，年銷(xiāo)售量為10000件，因2012年調(diào)整黃金周的影響，此企業(yè)為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)銷(xiāo)售量增加的比例為0.8x．已知利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷(xiāo)售量．
（1）2011年該企業(yè)的利潤(rùn)是多少？
（2）寫(xiě)出2012年預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
（3）為使2012年的年利潤(rùn)達(dá)到最大值，則每件投入成本增加的比例x應(yīng)是多少？此時(shí)最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷(xiāo)售量，可得2011年該企業(yè)的利潤(rùn)；
（2）利用每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)銷(xiāo)售量增加的比例為0.8x，可建立函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用配方法，可求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）根據(jù)利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷(xiāo)售量，可得2011年該企業(yè)的利潤(rùn)是（1.2-1）×10000=2000元；
（2）∵每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜1），則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)銷(xiāo)售量增加的比例為0.8x
∴y=[1.2（1+0.75x）-（1+x）]×10000（1+0.8x）=200（10+3x-4x²），x∈（0，1）；
（3）∵y=-800(x-

3

8

)2+2112.5
∴當(dāng)x=

3

8

時(shí)，y_max=2112.5
答：（1）2011年該企業(yè)的利潤(rùn)是2000元；（2）2012年預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式為y=200（10+3x-4x²），x∈（0，1）；（3）當(dāng)x=

3

8

時(shí)，y_max=2112.5．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．