Question

在△ABC中，已知角A，B，C滿足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，若△ABC的面積為3+

3

，試求△ABC的三邊的長．

Answer 1

分析：在△ABC中，由角A，B，C滿足2B=A+C，知B=60°，tanB=

3

．由tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，把tanB=

3

代入方程x²-λx+λ+1=0，解得λ=2

3

+2．由韋達(dá)定理有tanA•tanB=2

3

+3，知tanA=2+

3

，tanC=-tan（A+B）=1．故C=45°，A=75°．由此利用若△ABC的面積為3+

3

，能求出△ABC的三邊的長．

解答：解：在△ABC中，
∵角A，B，C滿足2B=A+C，∴B=60°，tanB=

3

．
∵tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，
∴把tanB=

3

代入方程x²-λx+λ+1=0，
解得λ=2

3

+2．由韋達(dá)定理有tanA•tanB=λ+1=2

3

+3，
∴tanA=

2 3 +3

3

=2+

3

，
∴tanC=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-

2+ 3 + 3

1-(2+ 3 )• 3

=1．
∴C=45°，A=75°．∴a：b：c=sin75°：sin60°：sin45°=（

6

+

2

）：2

3

：2

2

．
設(shè)a=(

6

+

2

)k，b=2

3

k，c=2

2

k，
∵△ABC的面積為3+

3

，
∴

1

2

acsinB=3+

3

，
即

3

2

×

1

2

×(

6

+

2

)k×2

2

k=3+

3

，
解得k=1，
∴a=

6

+

2

，b=2

3

，c=2

2

．

點(diǎn)評：本題考查解三角形在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．解題時(shí)要注意三角形加法定理和正弦定理的靈活運(yùn)用．