Question

【題目】已知函數(shù) ，則方程 （為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有_____個(gè)

Answer 1

【答案】6

【解析】.

,, 單調(diào)遞增；

,, 單調(diào)遞減；

,, 單調(diào)遞增.

.

由g[f(x)]a=0(a>0)得g[f(x)]=a,(a>0)

設(shè)t=f(x),則g(t)=a,(a>0)

由y=g(t)的圖象知，

①當(dāng)0<a<1時(shí),方程g(t)=a有兩個(gè)根4<t1<3,或3<t2<2，

由t=f(x)的圖象知,當(dāng)4<t1<3時(shí),t=f(x)有1個(gè)根，

當(dāng)3<t2<2時(shí),t=f(x)有3個(gè)根，

此時(shí)方程g[f(x)]a=0(a>0)有4個(gè)根，

②當(dāng)a=1時(shí),方程g(t)=a有兩個(gè)根t1=3,或t2=,

由t=f(x)的圖象知,當(dāng)t1=3時(shí),t=f(x)有2個(gè)根，

當(dāng)t2=時(shí),t=f(x)有3個(gè)根，

此時(shí)方程g[f(x)]a=0(a>0)有5個(gè)根，

③當(dāng)時(shí),方程g(t)=a有兩個(gè)根0<t1<,或<t2<1，

由t=f(x)的圖象知,當(dāng)0<t1<時(shí),t=f(x)有3個(gè)根，

當(dāng)<t2<1時(shí),t=f(x)有3個(gè)根，

此時(shí)方程g[f(x)]a=0(a>0)有3+3=6個(gè)根，

④當(dāng)a=時(shí),方程g(t)=a有兩個(gè)根t1=0,或t2=1，

由t=f(x)的圖象知,當(dāng)t1=0時(shí),t=f(x)有3個(gè)根，

當(dāng)t2=1時(shí),t=f(x)有2個(gè)根，

此時(shí)方程g[f(x)]a=0(a>0)有3+2=5個(gè)根

⑤當(dāng)a>時(shí),方程g(t)=a有1個(gè)根t1>1，

由t=f(x)的圖象知,當(dāng)t1>1時(shí),t=f(x)有1個(gè)根，

此時(shí)方程g[f(x)]a=0(a>0)有1個(gè)根，

綜上方程g[f(x)]a=0(a>0)的實(shí)根最多有6個(gè)根，

答案為6.