Question

已知：．
（I）若f′（1）=2，求a的值；
（Ⅱ）已知a＞e-1，若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）的圖象C₁與函數(shù)+bx的圖象C₂交于點(diǎn)A、B，過線段A、B的中點(diǎn)M作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點(diǎn)P、Q，問是否存在點(diǎn)M使C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行？若存在，求出M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1-
∴f′（1）=1-（a+1）=2，
∴a=-2；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-ag（x）=x+-alnx（x＞0），則若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等價于x∈[1，e]，F(xiàn)_min（x）＜0
求導(dǎo)函數(shù)可得F′（x）=
令F′（x）=0得x=a+1或x=-1（舍去）
∵a＞e-1，∴x=a+1＞e
∵x∈（0，a+1），F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)遞減
∴F（x）在[1，e]上單調(diào)遞減
∴F_min（x）=F（e）=e+
∴
∵a＞e-1，，∴
∴a的取值范圍為；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，則P，Q的橫坐標(biāo)均為x=
C₁在P處的切線斜率為k₁==；C₂在Q處的切線斜率為k₂=x+b=+b
假設(shè)C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行，則k₁=k₂，即=+b
∴=+b（x₂-x₁）=lnx₂-lnx₁，
∴l(xiāng)n==
設(shè)，在lnu=（u＞1）①
設(shè)h（u）=lnu-（u＞1），則h′（u）=
∵u＞1，∴h′（u）＞0
∴h（u）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（u）＞h（1）=0
∴l(xiāng)nu＞
這與①矛盾，假設(shè)不成立
∴C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線不平行．
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=2，可求a的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-ag（x）=x+-alnx（x＞0），則若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等價于x∈[1，e]，F(xiàn)_min（x）＜0，由此可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，則P，Q的橫坐標(biāo)均為x=，確定C₁在P處的切線斜率為k₁==；C₂在Q處的切線斜率為k₂=x+b=+b，假設(shè)C₁在P處的切線與C₂在Q處的切線平行，則k₁=k₂，由此可引出矛盾，故得解．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．