若斜率為
2
2
的直線l與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）有兩個不同的交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為
 
．
分析：根據(jù)題意可知：兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-c，c，縱坐標(biāo)分別為-
b2
a
，
b2
a
，所以由斜率公式可得：
b2
a
-(-
b2
a
)
c-(-c)
=
2
2
轉(zhuǎn)化為：2b2=ac=2（a2-c2），兩邊同除以a2，轉(zhuǎn)化為了2e2+
2
e-2=0求解．
解答：解：由題意知：兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-c，c，縱坐標(biāo)分別為-
b2
a
，
b2
a
，
∴由
b2
a
-(-
b2
a
)
c-(-c)
=
2
2

轉(zhuǎn)化為：2b2=2（a2-c2）=
2
ac
即2e2+
2
e-2=0，
解得e=
2
2
（負(fù)根舍去）．
故答案為：
2
2
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及直線的斜率公式和離心率公式，同時，還考查了轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為
2
2
，其一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，且與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淄博一模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），若將動點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的
2
倍后得到點(diǎn)Q(x，
2
y)，且滿足
AQ
•
BQ
=1．
（I）求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（II）過點(diǎn)B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，試問M、G、N、H四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃浦區(qū)一模）已知兩點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），點(diǎn)P（x，y）是直角坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，若將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)保持不變、縱坐標(biāo)擴(kuò)大到
2
倍后得到點(diǎn)Q（x，
2
y）滿足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求動點(diǎn)P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且滿足
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，試問四點(diǎn)M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)一個焦點(diǎn)為（-1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
4
2
3
，求直線l方程．

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