Question

5．設點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1圖象上的點，且x₁≥0，x₂＞0，若直線MN∥x軸，則M，N兩點間的距離的最小值為2．

Answer 1

分析 求出導函數(shù)f′（x），根據(jù)題意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²+1-x（x≥0），求出其導函數(shù)，進而求得h（x）的最小值即為M、N兩點間的最短距離．

解答 解：∵當x≥0時，f'（x）=e^x-x＞0，∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1圖象上的點，
且x₁≥0，x₂＞0，若直線MN∥x軸，則f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$=x₂-1，
則M，N兩點間的距離為x₂-x₁=${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}$+1-x₁．
令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²+1-x，x≥0，則h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h′（x）=e^x-x-1≥h′（0）=0，
故h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）的最小值為h（0）=1-0+1-0=2，
即M，N兩點間的距離的最小值為2，
故答案為2．

點評 本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．