Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①f（1）=1；②當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x）≥x成立；③當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=4f（x）-4x+2，試問(wèn)g（x）是否存在這樣的區(qū)間[a，b]（a＜b）同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①g（x）在[a，b]上單調(diào)；②若g（x）的定義域是[a，b]，則其值域也是[a，b]．若存在，求出這樣的區(qū)間[a，b]，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法結(jié)合題中條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a，b，c的方程求解即得；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x存在這樣的區(qū)間[a，b]（a＜b）同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，再利用函數(shù)的單調(diào)性，求出a，b的值，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）因當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x）≥x成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）²-4ac≤0，且a＞0，①
當(dāng)x∈R時(shí)，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，則函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=-1，
即-

b

2a

=-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
∴f（x）的表達(dá)式為f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x²-2x+3，
假設(shè)存在這樣的區(qū)間[a，b]（a＜b）同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：①g（x）在[a，b]上單調(diào)；②若g（x）的定義域是[a，b]，則其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上單調(diào)，∴a≥1或b≤1．
當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）在[a，b]上單調(diào)增，若g（x）的定義域是[a，b]，則值域?yàn)閇a²-2a+3，b²-2b+3]，
∴

a2-2a+3=a b2-2b+3=b

，此方程組無(wú)解；
當(dāng)b≤1時(shí)，g（x）在[a，b]上單調(diào)減，若g（x）的定義域是[a，b]，則值域?yàn)閇b²-2b+3，a²-2a+3]，
∴

a2-2a+3=b b2-2b+3=a

，此方程組無(wú)解；
綜上可知，不存在這樣的區(qū)間[a，b]（a＜b）同時(shí)滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程組的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．