Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=4
（1）求k的值及通項a_n
（2）若b_n=log₂a_n，試求所有正整數(shù)m，使為數(shù)列{S_n}中的項．

Answer 1

解：（1）當n=1時，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，將a₁=2，a₂=4
代入上式，得k=2；（2分）
當n≥2時，（1）-（2）得a_n+1=2a_n（4分）
又因為，所以a_n為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，（6分）
所以a_n=2ⁿ．（7分）
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，S_n=2ⁿ⁺¹-2（9分）
則（10分）
因為m∈N⁺，S_n∈N⁺，所以m∈1，2，當m=1時，
當m=2時，所以m=1或m=2（14分）
分析：（1）當n=1時，S₂=kS₁+2，即a₁+a₂=ka₁+2，將a₁=2，a₂=4，代入上式，得k=2；當n≥2時，能推導出a_n+1=2a_n，由此能導出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=log₂a_n=n，知S_n=2ⁿ⁺¹-2，所以，由此能求出求所有正整數(shù)m，使為數(shù)列{S_n}中的項．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式和利用數(shù)列知識求解實際問題，解題時要認真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．