Question

公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，已知其前n項(xiàng)和為S_n，若S₈=S₅+45，且a₄，a₇，a₁₂成等比數(shù)列
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（Ⅱ）當(dāng)b_n=

1

Sn

時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的性質(zhì)和S₈=S₅+45得a₇=15，再由通項(xiàng)公式代入另一個(gè)條件列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，再代入b_n=

1

Sn

化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng)，代入數(shù)列{b_n}的前n和T_n化簡(jiǎn)．

解答：解：（Ⅰ）由S₈=S₅+45得，S₈-S₅=45，
∴a₆+a₇+a₈=45，即3a₇=45，得a₇=15，
又∵a72=a4•a12，設(shè)公差為d≠0，
∴

a1+6d=15 (a1+6d)2=(a1+3d)(a1+11d)

解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)
∴bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，

Tn=b1+b2+b3+…+bn = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+2 )] = 1 2 ( 1 1 + 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 )

∴Tn=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．