如果定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件:

① 對任意的，總有≥0；

②；

③若且，則有成立。

那么稱為“友誼函數(shù)”。

請解答下列各題：

   （1）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

   （2）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由．

   （3）已知為“友誼函數(shù)”,假定存在,使得且,求證:

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（1）取得,又由，得

   （2）顯然在上滿足①②，

若，且，則有

故滿足條件①﹑②﹑③所以為友誼函數(shù)．

   （3）由③知任給其中，且有，則0＜＜１，

所以

依題意必有,下面用反證法證明:

若,則,這與矛盾;

若,則,這與矛盾

故由上述﹑證明知假設不成立,則必有成立．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011屆廣東省高三高考全真模擬試卷數(shù)學文卷二 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件:
① 對任意的，總有≥0； ②；
③若且，則有成立，并且稱為“友誼函數(shù)”，
請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
（2）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數(shù)”,且 ,求證:

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省高三第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

設函數(shù)的定義域為，若存在非零實數(shù)使得對于任意，有，且，則稱為上的“高調函數(shù)”．現(xiàn)給出下列命題：

①函數(shù)為上的“1高調函數(shù)”；

②函數(shù)為上的“高調函數(shù)”；

③如果定義域為的函數(shù)為上“高調函數(shù)”，那么實數(shù)的取值范圍是；

其中正確的命題是        ．（寫出所有正確命題的序號）

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆山西大學附中高三4月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

函數(shù)的定義域為，若存在非零實數(shù)使得對于任意，有，且，則稱為上的高調函數(shù)。如果定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，且為上的4高調函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是

A. .    B.  

C.     D.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山東省高一下學期3月考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

設函數(shù)的定義域為，若存在非零實數(shù)滿足對于任意，均有，且，則稱為上的高調函數(shù)．如果定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，且為上的4高調函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（   ）

A．    B．         C．         D．

 

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