Question

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，1），若該橢圓的離心率等于

3

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）以B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得b，由離心率等于

3

2

結(jié)和a²=b²+c²可求a，則橢圓的方程可求；
（2）在三角形F₁QF₂中，利用橢圓定義及余弦定理可求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-

1

k

x+1．把兩直線分別和橢圓聯(lián)立后求出A、C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由|AB|=|AC|得到含有A、C橫坐標(biāo)的等式，把A、C的橫坐標(biāo)代入等式后即可求得k的值．

解答：解：（1）依題意，b=1，因?yàn)闄E圓的離心率等于

3

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)|QF₁|=m，|QF₂|=n，則m+n=4，|F1F2|=2

3

，
在三角形F₁QF₂中，由余弦定理得：
cos∠F1QF2=

m2+n2-12

2mn

=

(m+n)2-2mn-12

2mn

=

4-2mn

2mn

=

2

mn

-1≥

2

(m+n)2 4

-1=-

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)“=”成立．
所以-

1

2

≤cos∠F1QF2≤1，故0°≤∠F1QF2≤120°；
（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），
則BC的方程為y=-

1

k

x+1．
聯(lián)立

y=kx+1 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得xA=-

8k

1+4k2

①．
聯(lián)立

y=- 1 k x+1 x2+4y2=4

，得xC=-

8k

4+k2

②．
因?yàn)閨AB|=|AC|，所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
將yA=kxA+1，yC=-

1

k

xC+1代入得：
k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0．
因?yàn)閗＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=

3+ 5

2

，k=

3- 5

2

，
所以存在這樣的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用橢圓定義及余弦定理求解橢圓中與三角形有關(guān)的問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是難題．