Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）當(dāng)m=-3時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若m=-1，△ABC的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數(shù)f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊．求證：a²+c²＜b²．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)，令f，（x）=0，解得x的值；由f'（x）與f（x）隨x的變化情況求出f（x）的極值；
（Ⅱ）f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)時，f，（x）≥0恒成立，求出m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知m=-1時，f（x）為定義域上的增函數(shù)，△ABC的頂點在f（x）的圖象上，由兩點間的距離公式求出a²，c²，b²，即得所證．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+x²+mx，定義域為（0，+∞），
∴f，（x）=

1

x

+2x+m；
當(dāng)m=-3時，f，（x）=

1

x

+2x+3，
令f，（x）=0，∴

2x2-3x+1

x

=0，即

(2x-1)(x-1)

x

=0，解得x=

1

2

或x=1；
則f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

∴f（x）_極大值=f（

1

2

）=-ln2-

5

4

，f（x）_極小值=f（1）=-2；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴x＞0時，f，（x）=

1

x

+2x+m≥0恒成立，
∴m≥-（

1

x

+2x）（其中x＞0）恒成立；
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時取等號），
∴-(

1

x

+2x)max=-2

2

，∴m≥-2

2

；
∴實數(shù)m的取值范圍是[-2

2

，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知m=-1時，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
△ABC的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數(shù)f（x）的圖象上，
且x₁＜x₂＜x₃，∴y₁＜y₂＜y₃；
∴a²=|BC|²=(x3-x2)2+(y3-y2)2，
c²=|AB|²=(x2-x1)2+(y2-y1)2，
b²=|AC|²=(x3-x1)2+(y3-y1)2=[(x3-x2)+(x2-x1)]2+[(y3-y2)+(y2-y1)]2
=(x3-x2)2+(x2-x1)2+(y3-y2)2+(y2-y1)2+2[(x3-x2)(x2-x1)+(y3-y2)(y2-y1)]；
∴a²+c²＜b²

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)與不等式的應(yīng)用以及兩點間的距離公式等知識，是較難的題．