Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC 上的點，且EB=FB=1．
（1）求異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值；
（2）試在面A₁B₁C₁D₁ 上確定一點G，使DG⊥平面D₁EF．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，

DA

，

DC

，

DD1

分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系A-xyz，寫出要用的點的坐標，把兩條直線對應的點的坐標寫出來，根據(jù)兩個向量之間的夾角表示出異面直線的夾角．
（2）因為點G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可設G（x，y，2）．根據(jù)線面垂直，則直線的方向向量與平面內任一線段對應的向量均垂直，可構造關于x，y的方程組，解方程組可得G點位置．

解答：解：（1）以D為原點，

DA

，

DC

，

DD1

分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，
則有D₁（0，0，2），C₁（0，4，2），E（3，3，0），F(xiàn)（2，4，0），
于是

EC1

=（-3，1，2），

FD1

=（-2，-4，2），
設設EC₁與FD₁所成角為β，
則cosβ=

| EC1 • FD1 |

| EC1 |•| FD1 |

=

21

14

．
∴異面直線EC₁與FD₁所成角的余弦值為

21

14

．
（2）因為點G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可設G（x，y，2）．

DG

=（x，y，2），

FD1

=（-2，-4，2），

EF

=（-1，1，0）．
由

DG • FD1 =0 DG • EF =0

得

-2x-4y+4=0 -x+y=0

解得

x= 2 3 y= 2 3

故當點G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，
且到A₁d₁，C₁D₁ 距離均為

2

3

時，DG⊥平面D₁EF

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線的夾角，其中建立空間坐標系，將空間線面關系問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．