Question

（2009•越秀區(qū)模擬）已知一動(dòng)圓P（圓心為P）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（

2

，0），并且與定圓C：(x+

2

)2+y2=16（圓心為C）相切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)圓x²+y²-2x-2y=0的圓心M，交動(dòng)圓圓心P的軌跡于A、B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)k，使得

CA

+

CB

=2

CM

？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），動(dòng)圓半徑為r，則|PQ|=r．因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C的內(nèi)部，所以動(dòng)圓P與定圓C內(nèi)切，所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，由此能夠求出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．
（2）假設(shè)存在常數(shù)k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，即

AM

=

MB

，所以M為AB的中點(diǎn)．圓方程可化為（x-1）²+（y-1）²=2，所以圓心M為（1，1）．直線l的方程為y-1=k（x-1）．由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．因?yàn)辄c(diǎn)M（1，1）在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的內(nèi)部，所以恒有△＞0．由此能夠推導(dǎo)出存在常數(shù)k=-

1

2

，使得

CA

+

CB

=2

CM

．

解答：（1）解：設(shè)P（x，y），動(dòng)圓半徑為r，則|PQ|=r．
因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C的內(nèi)部，所以動(dòng)圓P與定圓C內(nèi)切，
所以|PC|=4-r．
所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=2

2

，
根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)圓圓心P的軌跡是以C、Q為焦點(diǎn)的橢圓．
因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
故可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由2a=4，2c=2

2

，得a=2，c=

2

，b=

2

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）解：假設(shè)存在常數(shù)k，使得

CA

+

CB

=2

CM

，
即

AM

=

MB

，所以M為AB的中點(diǎn)．
圓方程可化為（x-1）²+（y-1）²=2，
所以圓心M為（1，1）．
因?yàn)橹本�l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，
所以直線l的方程為y-1=k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+（2k²-4k-2）=0．
因?yàn)辄c(diǎn)M（1，1）在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的內(nèi)部，
所以恒有△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k2-4k

1+2k2

．
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，
所以

x1+x2

2

=1，
即

2k2-2k

1+2k2

=1，
解得k=-

1

2

．
所以存在常數(shù)k=-

1

2

，
使得

CA

+

CB

=2

CM

．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．