Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)，連結(jié)，，記橢圓的離心率為.

（1）若，.

①求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②求和的面積之比.

（2）若直線和直線的斜率之積為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①.② ；（2）.

【解析】

（1）①設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意列出有關(guān)、、的方程組，求出、的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②求出直線的方程，將該直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式可求出和的面積之比；

（2）先利用截距式得出直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式計(jì)算出直線和的斜率，然后由這兩條直線的斜率之積為，得出關(guān)于、的齊次方程，由此可解出橢圓的離心率的值.

（1）①設(shè)橢圓的焦距為，由題意，得，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

②由①知，、，，，

所以直線的方程為，

將其代入橢圓的方程，得，即，

所以或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

從而和的面積之比：；

（2）因?yàn)?/span>、在直線上，所以直線的方程為.

解方程組，得或，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)橹本�的斜率，

直線的斜率，

又因?yàn)橹本�和直線的斜率之積為，

所以，

即，化簡得，，解得.

因此，橢圓的離心率為.